Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais que combinam funções exponenciais com funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes e entender um pouquinho sobre como ela funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica usada para integrar o produto de duas funções. A fórmula básica é:
Aqui,
e
são partes da nossa integral original que escolhemos para facilitar a resolução.
Passo 3
Vamos identificar as partes da nossa integral
.
Escolhemos:
-
(porque sua derivada será simples) -
(vamos integrar essa parte)
Passo 4
Calculando
e
:
- Derivada de
: - Integral de
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Agora, temos uma nova integral
que também vamos resolver por integração por partes.
Passo 7
Novamente, aplicamos integração por partes na nova integral:
Escolhemos:
Calculando
e
:
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 9
Agora, substituímos essa expressão na equação que tínhamos no Passo 6:
Simplificando:
Passo 10
Vamos chamar a integral original de
:
Substituindo na equação:
Passo 11
Agora, vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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