Calcule a integral.
integral e^-x sen(3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^-x sen(3x) , dx. Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais que combinam funções exponenciais com funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes e entender um pouquinho sobre como ela funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica usada para integrar o produto de duas funções. A fórmula básica é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, u e dv são partes da nossa integral original que escolhemos para facilitar a resolução.

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa integral integral e^-x sen(3x) , dx.
Escolhemos:
  • u = e^-x (porque sua derivada será simples)
  • dv = sen(3x) , dx (vamos integrar essa parte)

Passo 4

Calculando du e v:
  • Derivada de u: du = ddx e^-x , dx = -e^-x , dx
  • Integral de dv: v = integral sen(3x) , dx = -13 cos(3x)

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^-x sen(3x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores:
= e^-x (-13 cos(3x)) - integral (-13 cos(3x)) (-e^-x) , dx

Passo 6

Simplificando a expressão:
= -13 e^-x cos(3x) - 13 integral e^-x cos(3x) , dx
Agora, temos uma nova integral integral e^-x cos(3x) , dx que também vamos resolver por integração por partes.

Passo 7

Novamente, aplicamos integração por partes na nova integral:
Escolhemos:
  • u = e^-x
  • dv = cos(3x) , dx
Calculando du e v:
  • du = -e^-x , dx
  • v = integral cos(3x) , dx = 13 sen(3x)

Passo 8

Aplicando a fórmula:
integral e^-x cos(3x) , dx = e^-x (13 sen(3x)) - integral (13 sen(3x)) (-e^-x) , dx
Simplificando:
= 13 e^-x sen(3x) + 13 integral e^-x sen(3x) , dx

Passo 9

Agora, substituímos essa expressão na equação que tínhamos no Passo 6:
-13 e^-x cos(3x) - 13 ( 13 e^-x sen(3x) + 13 integral e^-x sen(3x) , dx )
Simplificando:
-13 e^-x cos(3x) - 19 e^-x sen(3x) - 19 integral e^-x sen(3x) , dx

Passo 10

Vamos chamar a integral original de I:
I = integral e^-x sen(3x) , dx
Substituindo na equação:
I = -13 e^-x cos(3x) - 19 e^-x sen(3x) - 19 I

Passo 11

Agora, vamos isolar I:
I + 19 I = -13 e^-x cos(3x) - 19 e^-x sen(3x)
109 I = -13 e^-x cos(3x) - 19 e^-x sen(3x)
Multiplicando ambos os lados por 910:
I = -310 e^-x cos(3x) - 110 e^-x sen(3x) + C

Resposta

A integral integral e^-x sen(3x) , dx é igual a:
-310 e^-x cos(3x) - 110 e^-x sen(3x) + C
onde C é a constante de integração.

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