Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais que combinam funções exponenciais com funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes e entender um pouquinho sobre como ela funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica usada para integrar o produto de duas funções. A fórmula básica é:
Aqui, e são partes da nossa integral original que escolhemos para facilitar a resolução.

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa integral .
Escolhemos:
  • (porque sua derivada será simples)
  • (vamos integrar essa parte)

Passo 4

Calculando e :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Agora, temos uma nova integral que também vamos resolver por integração por partes.

Passo 7

Novamente, aplicamos integração por partes na nova integral:
Escolhemos:
Calculando e :

Passo 8

Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 9

Agora, substituímos essa expressão na equação que tínhamos no Passo 6:
Simplificando:

Passo 10

Vamos chamar a integral original de :
Substituindo na equação:

Passo 11

Agora, vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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