Calcule a integral.
integral x sen(5 x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes.

Passo 2

A integração por partes é uma técnica que vem da regra do produto da diferenciação. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos definir:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sin(5x) , dx Rightarrow v = -15 cos(5x)
Explicação: Derivamos para encontrar e integramos para encontrar .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x sin(5x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x (-15 cos(5x)) - integral (-15 cos(5x)) dx

Passo 5

Simplificando a expressão:
= -x5 cos(5x) + 15 integral cos(5x) , dx
Agora, precisamos calcular a integral restante .

Passo 6

Integrando integral cos(5x) , dx = 15 sin(5x) + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
-x5 cos(5x) + 15 ( 15 sin(5x) ) + C = -x5 cos(5x) + 125 sin(5x) + C

Resposta

integral x sin(5x) , dx = -x5 cos(5x) + 125 sin(5x) + C

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