Calcule a integral.
Passo 1
Vamos calcular a integral
. Esse exercício faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes.
Passo 2
A integração por partes é uma técnica que vem da regra do produto da diferenciação. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 3
Vamos definir:
Explicação: Derivamos
para encontrar
e integramos
para encontrar
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, precisamos calcular a integral restante
.
Passo 6
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo de volta na expressão original:
Resposta
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Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.