Calcule a integral.
integral x arctan x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Isso faz parte do cálculo integral, especificamente da técnica de integração por partes. Para resolver, a gente vai precisar identificar duas partes da função que vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que será e o que será . Geralmente, escolhemos como a função que simplifica quando derivamos. Aqui, vou deixar e .

Passo 3

Agora, vamos derivar du = ddx (arctan x) , dx = 11 + x^2 , dx e integrar v = integral x , dx = x^22 para encontrar e :

Passo 4

Com esses valores, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
integral x arctan x , dx = arctan x cdot x^22 - integral x^22 cdot 11 + x^2 , dx

Passo 5

Vamos simplificar a integral restante:
integral x^22(1 + x^2) , dx = 12 integral x^21 + x^2 , dx
Dividindo x^21 + x^2 = 1 - 11 + x^2 por 12 integral (1 - 11 + x^2) , dx = 12 ( integral 1 , dx - integral 11 + x^2 , dx ) dá:
12 (x - arctan x) + C
Então:
Integrando:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
integral x arctan x , dx = x^22 arctan x - ( x2 - arctan x2 ) + C
Simplificando:
integral x arctan x , dx = x^22 arctan x - x2 + arctan x2 + C
Podemos também escrever de forma agrupada:
integral x arctan x , dx = x^2 + 12 arctan x - x2 + C

Resposta

integral x arctan x , dx = (x^2 + 1)2 arctan x - x2 + C

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