Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de um vetor cujas componentes são funções de
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente a integração de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar integrar cada componente do vetor separadamente dentro do intervalo de
a
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a componente i, que é
. A integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração. Aplicando isso:
Agora, avaliamos de
a
:
Passo 3
Vamos para a componente j, que é . A integral de em relação a
é
. Assim:
Avaliando de
a
:
Passo 4
Agora, a componente k é um pouco mais trabalhosa: . Para integrar isso, vamos usar a integração por partes, que é a fórmula:
Vamos escolher:
Aplicando a integração por partes:
Agora, avaliando de
a
:
Sabendo que :
Resposta
A integral do vetor dado de
a
é:
Ou, simplificando os termos: