Calcule a integral. $\int_{0}^{\pi / 4}[\cos (2 t) \mathbf{i}+\operatorname{sen}(2 t) \mathbf{j}+t \operatorname{sen}(t) \mathbf{k}] d t$

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de um vetor cujas componentes são funções de . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente a integração de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar integrar cada componente do vetor separadamente dentro do intervalo de a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente i, que é . A integral de em relação a é , onde é a constante de integração. Aplicando isso:
Agora, avaliamos de a :

Passo 3

Vamos para a componente j, que é . A integral de em relação a é . Assim:
Avaliando de a :

Passo 4

Agora, a componente k é um pouco mais trabalhosa: . Para integrar isso, vamos usar a integração por partes, que é a fórmula:
Vamos escolher:
Aplicando a integração por partes:
Agora, avaliando de a :
Sabendo que :

Resposta

A integral do vetor dado de a é:
Ou, simplificando os termos:

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<html><head></head><body><div>Resolva o PVI por séries de potências: <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -3.753ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“19.049ex” height=“8.638ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -2159 8419.8 3818”><title>y’’ - x y’ - y = 0, y(1) = 1, y’(1) = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“23A7” d=“M712 899L718 893V876V865Q718 854 704 846Q627 793 577 710T510 525Q510 524 509 521Q505 493 504 349Q504 345 504 334Q504 277 504 240Q504 -2 503 -4Q502 -8 494 -9T444 -10Q392 -10 390 -9Q387 -8 386 -5Q384 5 384 230Q384 262 384 312T383 382Q383 481 392 535T434 656Q510 806 664 892L677 899H712Z” transform=“translate(0,1260)”></path><path data-c=“23A9” d=“M718 -893L712 -899H677L666 -893Q542 -825 468 -714T385 -476Q384 -466 384 -282Q384 3 385 5L389 9Q392 10 444 10Q486 10 494 9T503 4Q504 2 504 -239V-310V-366Q504 -470 508 -513T530 -609Q546 -657 569 -698T617 -767T661 -812T699 -843T717 -856T718 -876V-893Z” transform=“translate(0,-760)”></path><path data-c=“23A8” d=“M389 1159Q391 1160 455 1160Q496 1160 498 1159Q501 1158 502 1155Q504 1145 504 924Q504 691 503 682Q494 549 425 439T243 259L229 250L243 241Q349 175 421 66T503 -182Q504 -191 504 -424Q504 -600 504 -629T499 -659H498Q496 -660 444 -660T390 -659Q387 -658 386 -655Q384 -645 384 -425V-282Q384 -176 377 -116T342 10Q325 54 301 92T255 155T214 196T183 222T171 232Q170 233 170 250T171 268Q171 269 191 284T240 331T300 407T354 524T383 679Q384 691 384 925Q384 1152 385 1155L389 1159Z” transform=“translate(0,0)”></path><svg width=“889” height=“290” y=“1060” x=“0” viewBox=“0 51.1 889 290”><path data-c=“23AA” d=“M384 150V266Q384 304 389 309Q391 310 455 310Q496 310 498 309Q502 308 503 298Q504 283 504 150Q504 32 504 12T499 -9H498Q496 -10 444 -10T390 -9Q386 -8 385 2Q384 17 384 150Z” transform=“scale(1,1.426)”></path></svg><svg width=“889” height=“290” y=”-850” x=“0” viewBox=“0 51.1 889 290”><path data-c=“23AA” d=“M384 150V266Q384 304 389 309Q391 310 455 310Q496 310 498 309Q502 308 503 298Q504 283 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data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(640,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“2032” d=“M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(884.5,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(1273.5,0)”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“1D7CF” d=“M481 0L294 3Q136 3 109 0H96V62H227V304Q227 546 225 546Q169 529 97 529H80V591H97Q231 591 308 647L319 655H333Q355 655 359 644Q361 640 361 351V62H494V0H481Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1848.5,0)”><path data-c=“29” d=“M60 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transform=“translate(8419.8,0) translate(0 250)”></g></g></g></g></svg></mjx-container></span><br>
Passo 1) Substitua a série na EDO.<br>
Passo 2) Encontre uma relação de recorrênica para <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.357ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“2.344ex” height=“1.355ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -441 1036.3 598.8”><title>a_n</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msub”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D44E” d=“M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(562,-150) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D45B” d=“M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>.<br>
Passo 3) Apresente a solução com pelo menos os 5 primeiros termos não nulos.</div>
</body></html>
<html><head></head><body><div><span class="math-block ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“26.31ex” height=“2.791ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -883.9 11628.9 1233.4”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(394,413) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 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<div>(a) Show that <span class="math-inline ">
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(b) Find a power series solution of () of the form</div>
<div><span class="math-block ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -2.819ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“27.426ex” height=“6.354ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1562.5 12122.3 2808.5”><title>\cdot</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msub”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 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