Calcule a integral.
integral0^pi / 4[cos (2 t) i+sen(2 t) j+t sen(t) k] d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de um vetor cujas componentes são funções de . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente a integração de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar integrar cada componente do vetor separadamente dentro do intervalo de a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente i, que é integral cos(2t) , dt = 12 sin(2t) + C . A integral de [ 12 sin(2t) ]0^pi4 = 12 sin(pi2) - 12 sin(0) = 12 times 1 - 0 = 12 em relação a é , onde é a constante de integração. Aplicando isso:
Agora, avaliamos de a :

Passo 3

Vamos para a componente j, que é . A integral de em relação a integral sen(2t) , dt = -12 cos(2t) + C é [ -12 cos(2t) ]0^pi4 = -12 cos(pi2) + 12 cos(0) = -12 times 0 + 12 times 1 = 12 . Assim:
Avaliando de a :

Passo 4

Agora, a componente k é um pouco mais trabalhosa: . Para integrar isso, vamos usar a integração por partes, que é a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = t Rightarrow du = dt
Aplicando a integração por partes:
Agora, avaliando de dv = sen(t) , dt Rightarrow v = -cos(t) a integral t sen(t) , dt = -t cos(t) + integral cos(t) , dt = -t cos(t) + sen(t) + C :
Sabendo que :
[ -t cos(t) + sen(t) ]0^pi4 = ( -pi4 cos(pi4) + sen(pi4) ) - ( 0 + 0 )

Resposta

A integral do vetor dado de ( 12 ) i + ( 12 ) j + ( -pi raiz28 + raiz22 ) k a 12 i + 12 j + ( raiz22 - pi raiz28 ) k é:
Ou, simplificando os termos:

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