(a) Show that
and
are the two roots of the indicial equation of (
).
(b) Find a power series solution of (*) of the form
© Show that
.
(d) Show that (*) has no solution of the form
(e) Find a second solution of (*) using the method of reduction of order. Leave your answer in integral form.
(b) Find a power series solution of (*) of the form
(d) Show that (*) has no solution of the form
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você enviou. A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
A primeira parte da questão (a) pede para mostrar que
e
são as raízes da equação indicial dessa equação diferencial. Isso está relacionado ao método de Frobenius, que a gente usa quando a equação tem coeficientes singulares. Vamos precisar montar a equação indicial para encontrar essas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação indicial. No método de Frobenius, assumimos uma solução da forma
e substituímos na equação diferencial para encontrar valores de
que fazem a equação valer zero quando consideramos os menores poderes de
.
Vamos começar assumindo
. Então, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Passo 3
Vamos simplificar cada termo:
Agora, juntando tudo:
Passo 4
Vamos fatorar
:
Para que essa expressão seja zero, o que está dentro do colchete deve ser zero. Assim:
No método de Frobenius, consideramos os menores poderes de
, então vamos focar nos termos sem
:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Isso é uma equação quadrática em
. Vamos resolver:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então,
Resposta
Mostramos que
e
são as duas raízes da equação indicial da equação diferencial dada.