t^2 y^prime prime+(t^2-3 t) y^prime+3 y=0
(a) Show that r=1 and r=3 are the two roots of the indicial equation of ( cdot ).
(b) Find a power series solution of (*) of the form
y1(t)=t^3 sumn=0^infty an t^n, a0=1
© Show that y1(t)=t^3 e^-t.
(d) Show that (*) has no solution of the form
t sumn=0^infty bn t^n
(e) Find a second solution of (*) using the method of reduction of order. Leave your answer in integral form.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você enviou. A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
t^2 y'' + (t^2 - 3t) y' + 3y = 0
A primeira parte da questão (a) pede para mostrar que e são as raízes da equação indicial dessa equação diferencial. Isso está relacionado ao método de Frobenius, que a gente usa quando a equação tem coeficientes singulares. Vamos precisar montar a equação indicial para encontrar essas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação indicial. No método de Frobenius, assumimos uma solução da forma y' = r t^r-1 e substituímos na equação diferencial para encontrar valores de y'' = r (r - 1) t^r-2 que fazem a equação valer zero quando consideramos os menores poderes de t^2 cdot r (r - 1) t^r-2 + (t^2 - 3t) cdot r t^r-1 + 3 t^r = 0 .
Vamos começar assumindo . Então, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos , e na equação original:

Passo 3

Vamos simplificar cada termo:
  1. r (r - 1) t^r + r t^r+1 - 3r t^r + 3 t^r = 0
Agora, juntando tudo:

Passo 4

Vamos fatorar t^r [r (r - 1) + r t - 3r + 3] = 0 :
r (r - 1) - 3r + 3 + r t = 0
Para que essa expressão seja zero, o que está dentro do colchete deve ser zero. Assim:
r (r - 1) - 3r + 3 = 0
No método de Frobenius, consideramos os menores poderes de , então vamos focar nos termos sem :

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
r^2 - r - 3r + 3 = 0
r^2 - 4r + 3 = 0
Isso é uma equação quadrática em r^2 - 4r + 3 = 0 . Vamos resolver:
r = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22
Usando a fórmula de Bhaskara:
r1 = 4 + 22 = 3
Então,
r2 = 4 - 22 = 1

Resposta

Mostramos que e são as duas raízes da equação indicial da equação diferencial dada.

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