on the interval
, with
, and
. Compute
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Estamos no intervalo
e temos condições iniciais específicas para as soluções
e
. Nosso objetivo aqui é calcular o Wronskiano dessas duas soluções, que é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada Identidade de Abel.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais padrão. Para isso, dividimos toda a equação por
:
Agora, nossa equação está na forma:
onde:
Passo 3
A Identidade de Abel nos diz como calcular o Wronskiano
para uma equação diferencial de segunda ordem. A fórmula é:
onde
é uma constante.
Passo 4
Vamos calcular a integral de
:
Então, substituindo na fórmula do Wronskiano:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor da constante
. Para isso, usamos as condições iniciais dadas:
Para
:
O Wronskiano é definido como:
Substituindo
:
E também sabemos que:
Então,
.
Resposta
Portanto, o Wronskiano das soluções
e
é: