t^2 y'' + t y' + (t^2 - n^2) y = 0
on the interval 0 < t < infinito, with y1(1) = 1, y1' (1) = 0, y2(1) = 0, and y2'(1) = 1. Compute W[y1, y2](t).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Estamos no intervalo e temos condições iniciais específicas para as soluções e . Nosso objetivo aqui é calcular o Wronskiano dessas duas soluções, que é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada Identidade de Abel.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais padrão. Para isso, dividimos toda a equação por :
Agora, nossa equação está na forma:
onde:

Passo 3

A Identidade de Abel nos diz como calcular o Wronskiano para uma equação diferencial de segunda ordem. A fórmula é:
onde é uma constante.

Passo 4

Vamos calcular a integral de :
Então, substituindo na fórmula do Wronskiano:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor da constante . Para isso, usamos as condições iniciais dadas:
Para :
O Wronskiano é definido como:
Substituindo :
E também sabemos que:
Então, .

Resposta

Portanto, o Wronskiano das soluções e é:

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