Resolva o PVI por séries de potências: ry^prime prime-x y^prime-y=0 y(1)=1 y^prime(1)=0
Passo 1) Substitua a série na EDO.
Passo 2) Encontre uma relação de recorrênica para an.
Passo 3) Apresente a solução com pelo menos os 5 primeiros termos não nulos.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial ordinária (EDO) com condições iniciais. Nosso objetivo é resolver essa EDO usando séries de potências.
Enunciado resumido:
Temos a EDO com as condições e . Vamos usar séries de potências para encontrar a solução.
Conteúdo da matéria:
Vamos trabalhar com séries de potências para resolver EDOs. Isso envolve assumir que a solução pode ser escrita como uma série infinita e determinar os coeficientes dessa série.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento básico de séries de potências.
  • Saber derivar séries termo a termo.
  • Aplicar as condições iniciais para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) = sumn=0^infty an (x - 1)^n pode ser escrita como uma série de potências centrada em y'(x) = sumn=1^infty n an (x - 1)^n-1 :
y''(x) = sumn=2^infty n (n-1) an (x - 1)^n-2
Agora, precisamos calcular as derivadas dessa série:
sumn=2^infty n (n-1) an (x - 1)^n-2 - x sumn=1^infty n an (x - 1)^n-1 - sumn=0^infty an (x - 1)^n = 0
Substituindo , e na EDO :
Para simplificar, vamos mudar o índice de soma para que todas as séries tenham o mesmo expoente . Fazendo isso, obtemos uma relação que nos permitirá encontrar uma recorrência para os coeficientes .

Passo 3

Depois de alinhar os expoentes, chegamos a uma relação de recorrência que relaciona os coeficientes an+2 = an+1 + an(n+2)(n+1) . A ideia é expressar em termos de e .
A relação de recorrência fica:
Isso nos permite calcular os coeficientes passo a passo, começando pelos dados iniciais.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar os primeiros coeficientes.
Sabemos que y(1) = sumn=0^infty an (1 - 1)^n = a0 = 1 , ou seja:
y'(1) = sumn=1^infty n an (1 - 1)^n-1 = a1 = 0
E a condição a0 = 1 a1 = 0 :
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular os próximos coeficientes usando nossa relação de recorrência.
Para a2 = a1 + a02 cdot 1 = 0 + 12 = 12 :
a3 = a2 + a13 cdot 2 = 12 + 06 = 112
Para a4 = a3 + a24 cdot 3 = 112 + 1212 = 71212 = 7144 :
a5 = a4 + a35 cdot 4 = 7144 + 11220 = 1914420 = 192880
Para :
Para :

Passo 6

Com os coeficientes calculados, podemos escrever a solução aproximada com os primeiros 5 termos não nulos:
y(x) = a0 + a1 (x - 1) + a2 (x - 1)^2 + a3 (x - 1)^3 + a4 (x - 1)^4 + a5 (x - 1)^5 + dots
Substituindo os valores encontrados:
y(x) approx 1 + 0 cdot (x - 1) + 12 (x - 1)^2 + 112 (x - 1)^3 + 7144 (x - 1)^4 + 192880 (x - 1)^5

Resposta

A solução aproximada do PVI é:
y(x) approx 1 + 12 (x - 1)^2 + 112 (x - 1)^3 + 7144 (x - 1)^4 + 192880 (x - 1)^5

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