Resolva o PVI por séries de potências:
Passo 1) Substitua a série na EDO.
Passo 2) Encontre uma relação de recorrênica para an.
Passo 3) Apresente a solução com pelo menos os 5 primeiros termos não nulos.
Passo 1
Beleza, então vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial ordinária (EDO) com condições iniciais. Nosso objetivo é resolver essa EDO usando séries de potências.
Enunciado resumido:
Temos a EDO com as condições e . Vamos usar séries de potências para encontrar a solução.
Conteúdo da matéria:
Vamos trabalhar com séries de potências para resolver EDOs. Isso envolve assumir que a solução pode ser escrita como uma série infinita e determinar os coeficientes dessa série.
O que vamos precisar:
Conhecimento básico de séries de potências.
Saber derivar séries termo a termo.
Aplicar as condições iniciais para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução y(x) = sumn=0^infty an (x - 1)^n pode ser escrita como uma série de potências centrada em y'(x) = sumn=1^infty n an (x - 1)^n-1 :
y''(x) = sumn=2^infty n (n-1) an (x - 1)^n-2
Agora, precisamos calcular as derivadas dessa série:
sumn=2^infty n (n-1) an (x - 1)^n-2 - x sumn=1^infty n an (x - 1)^n-1 - sumn=0^infty an (x - 1)^n = 0
Substituindo , e na EDO :
Para simplificar, vamos mudar o índice de soma para que todas as séries tenham o mesmo expoente . Fazendo isso, obtemos uma relação que nos permitirá encontrar uma recorrência para os coeficientes .
Passo 3
Depois de alinhar os expoentes, chegamos a uma relação de recorrência que relaciona os coeficientes an+2 = an+1 + an(n+2)(n+1) . A ideia é expressar em termos de e .
A relação de recorrência fica:
Isso nos permite calcular os coeficientes passo a passo, começando pelos dados iniciais.
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar os primeiros coeficientes.
Sabemos que y(1) = sumn=0^infty an (1 - 1)^n = a0 = 1 , ou seja:
y'(1) = sumn=1^infty n an (1 - 1)^n-1 = a1 = 0
E a condição a0 = 1 a1 = 0 :
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular os próximos coeficientes usando nossa relação de recorrência.