Dê a solução com pelo menos os cinco primeiros termos não nulos do PVI:
(Use o segundo método de resolução por séries.) cy^prime prime+(sin x) y=0 y(0)=1 y^prime(0)=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial do tipo usando o segundo método de resolução por séries. Além disso, precisamos encontrar pelo menos os cinco primeiros termos não nulos da solução, considerando as condições iniciais e . Vamos usar o método de séries para construir a solução passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser expressa como uma série de potências em torno de :
Isso significa que vamos encontrar os coeficientes que satisfazem a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 3

Calculemos as primeiras derivadas de y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 :
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2
Essas expressões serão usadas na equação diferencial.

Passo 4

Substituímos sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 + sin(x) cdot sumn=0^infty an x^n = 0 e sin(x) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1 na equação diferencial:
sin(x) cdot y(x) = ( sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1 ) ( sumn=0^infty an x^n )
Agora, precisamos lidar com o termo . Sabemos que a s��rie de Taylor para é:
Multiplicando isso pela série de :
Isso resulta em uma convolução das séries, mas para os primeiros cinco termos, vamos calcular manualmente até o termo .

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de potências iguais de 2a2 = 0 Rightarrow a2 = 0 na equação resultante a zero e resolvemos para os coeficientes 6a3 + a0 = 0 Rightarrow a3 = -a06 = -16 :
Para 12a4 + a1 = 0 Rightarrow a4 = -a112 = 112 :
Para :
Para :
Continuamos esse processo até obtermos os cinco primeiros termos não nulos da série.

Resposta

A solução aproximada com os cinco primeiros termos não nulos é:
y(x) = 1 - x - 16x^3 + 112x^4 + dots

Exercícios relacionados