Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Passo 1
Então, a gente tem a integral imprópria
. Isso significa que o limite superior é infinito. Vamos usar conceitos de cálculo sobre integrais impróprias para verificar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai pra infinito). Para isso, precisamos encontrar a antiderivada da função e calcular o limite quando o limite superior tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a antiderivada de
. Sabemos que a integral de
é
, então adaptando isso:
Passo 3
Agora, aplicamos os limites de integração de 2 até um número
, e depois vamos fazer
tender ao infinito:
Simplificando os valores:
Como
, fica apenas:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece quando
vai para o infinito:
Isso significa que a integral não tem um valor finito; ela cresce sem limite à medida que
aumenta.
Resposta
A integral
diverge, ou seja, não converge para um valor finito.
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Calcule a integral.
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