Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
integral2^infty d xx-1

Passo 1

Então, a gente tem a integral imprópria integral2^infty dxx - 1. Isso significa que o limite superior é infinito. Vamos usar conceitos de cálculo sobre integrais impróprias para verificar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai pra infinito). Para isso, precisamos encontrar a antiderivada da função e calcular o limite quando o limite superior tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a antiderivada de 1x - 1. Sabemos que a integral de 1x é ln|x| + C, então adaptando isso:
integral 1x - 1 dx = ln|x - 1| + C

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração de 2 até um número b, e depois vamos fazer b tender ao infinito:
integral2^b dxx - 1 = ln|b - 1| - ln|2 - 1|
Simplificando os valores:
ln(b - 1) - ln(1)
Como ln(1) = 0, fica apenas:
ln(b - 1)

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando b vai para o infinito:
limb to infty ln(b - 1) = infty
Isso significa que a integral não tem um valor finito; ela cresce sem limite à medida que b aumenta.

Resposta

A integral integral2^infty dxx - 1 diverge, ou seja, não converge para um valor finito.

Exercícios relacionados