Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.

Passo 1

Então, a gente tem a integral imprópria . Isso significa que o limite superior é infinito. Vamos usar conceitos de cálculo sobre integrais impróprias para verificar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai pra infinito). Para isso, precisamos encontrar a antiderivada da função e calcular o limite quando o limite superior tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a antiderivada de . Sabemos que a integral de é , então adaptando isso:

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração de 2 até um número , e depois vamos fazer tender ao infinito:
Simplificando os valores:
Como , fica apenas:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando vai para o infinito:
Isso significa que a integral não tem um valor finito; ela cresce sem limite à medida que aumenta.

Resposta

A integral diverge, ou seja, não converge para um valor finito.

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Calcule a integral.
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