Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria: . Aqui, estamos lidando com o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente com integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar saber como integrar a função seno e entender o comportamento dessa função quando o limite de integração vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como integrar a função seno. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 3

Agora, aplicamos os limites da integral definida. Queremos calcular:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite. A função oscila entre -1 e 1 para todos os valores de . Isso significa que oscila entre -1 e 1 também. Então, o limite de quando tende ao infinito não se aproxima de um único valor; ele continua oscilando entre 0 e 2.

Passo 5

Como o limite não existe (não converge para um único número), concluímos que a integral imprópria:
diverge.

Resposta

A integral diverge.

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Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Calcule a integral.