Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria:
. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente com integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar saber como integrar a função seno e entender o comportamento dessa função quando o limite de integração vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como integrar a função seno. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 3
Agora, aplicamos os limites da integral definida. Queremos calcular:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite. A função
oscila entre -1 e 1 para todos os valores de
. Isso significa que
oscila entre -1 e 1 também. Então, o limite de
quando
tende ao infinito não se aproxima de um único valor; ele continua oscilando entre 0 e 2.
Passo 5
Como o limite não existe (não converge para um único número), concluímos que a integral imprópria:
diverge.
Resposta
A integral
diverge.
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Calcule a integral.