Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial foi dada, em cada caso e indique com setas o sentido no qual o parâmetro cresce.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da curva que é descrita pela equação vetorial
. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como interpretar as equações paramétricas e como desenhar a curva no espaço, além de indicar a direção em que o parâmetro
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada componente de
representa. Essa é uma forma paramétrica onde:
Isso significa que para cada valor de
, temos um ponto no espaço tridimensional
.
Passo 3
Agora, vamos ver como essas equações se relacionam. Podemos expressar
e
em função de
(já que
):
Isso nos mostra que a curva está toda contida em um plano definido por essas relações.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, podemos interpretar essas relações:
- A equação
representa uma linha reta no plano . - A equação
indica que, conforme aumenta, também aumenta duas vezes mais rápido.
Assim, a curva é uma reta que se estende no espaço tridimensional, inclinada de acordo com essas proporções.
Passo 5
Sobre a direção da curva: conforme
aumenta,
aumenta,
diminui (já que
) e
aumenta. Então, a seta deve indicar que, ao aumentar
, a curva vai na direção positiva de
e
, e na direção negativa de
.
Resposta
Então, ao esboçar a curva
no espaço tridimensional, ela aparece como uma reta inclinada que passa pela origem, com a direção crescente de
indicada por setas apontando na direção positiva de
e
e na direção negativa de
.
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