Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial foi dada, em cada caso e indique com setas o sentido no qual o parâmetro cresce.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da curva que é descrita pela equação vetorial . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como interpretar as equações paramétricas e como desenhar a curva no espaço, além de indicar a direção em que o parâmetro cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente de representa. Essa é uma forma paramétrica onde:
Isso significa que para cada valor de , temos um ponto no espaço tridimensional .

Passo 3

Agora, vamos ver como essas equações se relacionam. Podemos expressar e em função de (já que ):
Isso nos mostra que a curva está toda contida em um plano definido por essas relações.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, podemos interpretar essas relações:
  • A equação representa uma linha reta no plano .
  • A equação indica que, conforme aumenta, também aumenta duas vezes mais rápido.
Assim, a curva é uma reta que se estende no espaço tridimensional, inclinada de acordo com essas proporções.

Passo 5

Sobre a direção da curva: conforme aumenta, aumenta, diminui (já que ) e aumenta. Então, a seta deve indicar que, ao aumentar , a curva vai na direção positiva de e , e na direção negativa de .

Resposta

Então, ao esboçar a curva no espaço tridimensional, ela aparece como uma reta inclinada que passa pela origem, com a direção crescente de indicada por setas apontando na direção positiva de e e na direção negativa de .

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