Calcule a integral.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de
até
. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, e vamos precisar usar técnicas como substituição e simplificação de potências para resolver.
Passo 2
Primeiro, note que tanto
quanto estão elevados a potências ímpares. Nesses casos, é útil separar uma das funções para facilitar a substituição. Vamos separar uma para preparar a substituição.
Passo 3
Vamos reescrever como . Sabemos que , então:
Agora, substituindo na integral:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Agora, atualizamos os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos expandir
:
Multiplicando por
:
Passo 7
A integral agora é:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Passo 9
Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.