Calcule a integral. integral0^pi / 2 cos ^9 x sen^5 x d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de até . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, e vamos precisar usar técnicas como substituição e simplificação de potências para resolver.

Passo 2

Primeiro, note que tanto quanto estão elevados a potências ímpares. Nesses casos, é útil separar uma das funções para facilitar a substituição. Vamos separar uma para preparar a substituição.

Passo 3

Vamos reescrever como . Sabemos que , então:
Agora, substituindo na integral:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja du = -sen x , dx Rightarrow sen x , dx = -du . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integralu(0)^u(pi2) u^9 cdot (1 - u^2)^2 cdot (-du)
Agora, atualizamos os limites de integração:
  • Quando - integral1^0 u^9 (1 - u^2)^2 , du = integral0^1 u^9 (1 - u^2)^2 , du ,
  • Quando ,
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
u^9 (1 - 2u^2 + u^4) = u^9 - 2u^11 + u^13
Multiplicando por :

Passo 7

A integral agora é:
integral0^1 (u^9 - 2u^11 + u^13) , du
Vamos integrar termo a termo:
integral u^9 , du = u^1010, integral u^11 , du = u^1212, integral u^13 , du = u^1414

Passo 8

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
[ u^1010 - 2 cdot u^1212 + u^1414 ]0^1 = 110 - 212 + 114

Passo 9

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
110 - 16 + 114 = 21210 - 35210 + 15210 = 1210

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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