Prove que a fim de que a função
seja contínua no ponto
, é necessário e suficiente que, para toda sequência de pontos
, se tenha que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que uma função
é contínua num ponto
se, e somente se, para toda sequência de pontos
em
que converge para
, a sequência
converge para
. Isso envolve conceitos de continuidade e limites de sequências. Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como os limites de sequências se relacionam com isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua no ponto
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
. Isso basicamente significa que, se você se aproximar de
o suficiente,
vai se aproximar de
o quanto você quiser.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas sequências. Uma sequência
converge para
se, para todo
, existe um número
tal que, para todo
,
. Isso significa que, conforme
cresce, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de
.
Passo 4
Vamos provar a necessidade: ou seja, se
é contínua em
, então para toda sequência
que converge para
,
converge para
.
Como
é contínua em
, dado
, existe
tal que se
, então
. Como
converge para
, existe
tal que para todo
,
. Portanto, para esses
,
, mostrando que
converge para
.
Passo 5
Agora, vamos provar a suficiência: se para toda sequência
que converge para
,
converge para
, então
é contínua em
.
Assumimos que
não é contínua em
. Então, existe um
tal que, para todo
, existe algum
com
mas
. Podemos construir uma sequência
onde cada
está dentro de
de
, mas
. Essa sequência
converge para
, mas
não converge para
, o que é uma contradição. Portanto,
deve ser contínua em
.
Resposta
Assim, mostramos que
é contínua no ponto
se e somente se, para toda sequência
que converge para
, a sequência
converge para
.