Prove que a fim de que a função f: X longrightarrow R seja contínua no ponto a, é necessário e suficiente que, para toda sequência de pontos xn in X, com lim xn=a, se tenha que lim f(xn)=f(a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que uma função é contínua num ponto se, e somente se, para toda sequência de pontos em que converge para , a sequência converge para . Isso envolve conceitos de continuidade e limites de sequências. Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como os limites de sequências se relacionam com isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua no ponto se, para todo , existe um tal que, sempre que , então . Isso basicamente significa que, se você se aproximar de o suficiente, vai se aproximar de o quanto você quiser.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas sequências. Uma sequência converge para se, para todo , existe um número tal que, para todo , . Isso significa que, conforme cresce, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de .

Passo 4

Vamos provar a necessidade: ou seja, se é contínua em , então para toda sequência que converge para , converge para .
Como é contínua em , dado , existe tal que se , então . Como converge para , existe tal que para todo , . Portanto, para esses , , mostrando que converge para .

Passo 5

Agora, vamos provar a suficiência: se para toda sequência que converge para , converge para , então é contínua em .
Assumimos que não é contínua em . Então, existe um tal que, para todo , existe algum com mas . Podemos construir uma sequência onde cada está dentro de de , mas . Essa sequência converge para , mas não converge para , o que é uma contradição. Portanto, deve ser contínua em .

Resposta

Assim, mostramos que é contínua no ponto se e somente se, para toda sequência que converge para , a sequência converge para .

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