lim x infty[ln (e^x+1)^1x^2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x infty[ln (e^x+1)^1x^2]
Aqui, vamos trabalhar com funções logarítmicas e exponenciais. Precisamos entender como essas funções se comportam quando cresce muito, ou seja, tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Lembrando que ln (e^x + 1)^1x^2 = 1x^2 cdot ln(e^x + 1) , podemos reescrever:
lim x infty ln(e^x + 1)x^2
Agora, nosso limite fica:

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de e^x + 1 approx e^x quando ln(e^x + 1) approx ln(e^x) = x tende ao infinito. Para valores grandes de , domina sobre 1, então:
Portanto,

Passo 4

Substituindo essa aproximação no nosso limite, temos:
lim x infty xx^2 = lim x infty 1x

Passo 5

Agora, calculamos o limite de lim x infty 1x = 0 quando vai para o infinito:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados