lim x 0 1-raiz1-xraiz1+x-raiz1-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está ligado ao estudo de limites em cálculo, especificamente lidando com expressões que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar racionalização e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que se substituirmos diretamente na expressão, teremos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos começar racionalizando o numerador. A expressão no numerador é 1 - raiz1 - x = (1 - raiz1 - x)(1 + raiz1 - x)1 + raiz1 - x = 1 - (1 - x)1 + raiz1 - x = x1 + raiz1 - x . Para racionalizar, multiplicamos e dividimos por :

Passo 4

Agora, vamos racionalizar o denominador da expressão original, que é raiz1 + x - raiz1 - x^2 = (raiz1 + x - raiz1 - x^2)(raiz1 + x + raiz1 - x^2)raiz1 + x + raiz1 - x^2 = (1 + x) - (1 - x^2)raiz1 + x + raiz1 - x^2 = x + x^2raiz1 + x + raiz1 - x^2 . Multiplicamos e dividimos por :

Passo 5

Substituindo as simplificações de numerador e denominador na expressão original:
1 - raiz1 - xraiz1 + x - raiz1 - x^2 = x1 + raiz1 - xx + x^2raiz1 + x + raiz1 - x^2 = x1 + raiz1 - x cdot raiz1 + x + raiz1 - x^2x(1 + x)

Passo 6

Simplificando os termos x1 + raiz1 - x cdot raiz1 + x + raiz1 - x^2x(1 + x) = 11 + raiz1 - x cdot raiz1 + x + raiz1 - x^21 + x que estão no numerador e denominador:

Passo 7

Agora, vamos avaliar o limite quando 11 + raiz1 - 0 cdot raiz1 + 0 + raiz1 - 01 + 0 = 11 + 1 cdot 1 + 11 = 12 cdot 2 = 1 tende a 0. Substituindo nas partes restantes:

Resposta

O limite vale .

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