Calcule a integral. integral0^pi / 2 raizcos theta sen^3 theta d theta;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, mais especificamente, integrais que exigem substituição para serem resolvidas. Vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar . Isso significa que . Precisamos também ajustar os limites de integração: quando , , e quando , .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em termos de integral0^pi / 2 raizcos theta sin^3 theta d theta = integral1^0 raizu sin^3 theta ( -du ) . Temos:
integral1^0 raizu (1 - u^2) (-du) = integral0^1 raizu (1 - u^2) du
Como e sabemos que , podemos substituir:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
integral0^1 raizu - u^5/2 du
Isso fica:
integral0^1 u^1/2 du - integral0^1 u^5/2 du

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que u^3/23/2 g|0^1 - u^7/27/2 g|0^1 :
23 u^3/2 g|0^1 - 27 u^7/2 g|0^1
Simplificando as frações:

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração:
23 (1)^3/2 - 27 (1)^7/2 - ( 23 (0)^3/2 - 27 (0)^7/2 ) = 23 - 27

Resposta

Portanto, a integral vale .

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