Calcule a integral. ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, mais especificamente, integrais que exigem substituição para serem resolvidas. Vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar . Isso significa que . Precisamos também ajustar os limites de integração: quando , , e quando , .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em termos de . Temos:
Como e sabemos que , podemos substituir:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Isso fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que :
Simplificando as frações:

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração:

Resposta

Portanto, a integral vale .

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