Calcule a integral. integral0^1(u+2)(u-3) d u;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Isso faz parte do estudo de cálculo integral, onde a gente quer encontrar a área abaixo da curva de uma função entre dois pontos. Para resolver, vamos primeiro simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto (u + 2)(u - 3) = u cdot u + u cdot (-3) + 2 cdot u + 2 cdot (-3) = u^2 - 3u + 2u - 6 = u^2 - u - 6 . Vamos multiplicar cada termo:
integral0^1 (u^2 - u - 6) , du
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral u^2 , du = u^33 em relação a integral (-u) , du = -u^22 é integral (-6) , du = -6u . Aplicando isso:
u^33 - u^22 - 6u
Então, a integral completa é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral entre os limites de 0 e 1. Substituímos 1^33 - 1^22 - 6 cdot 1 = 13 - 12 - 6 e 0^33 - 0^22 - 6 cdot 0 = 0 - 0 - 0 = 0 na expressão integrada:
Para ( 13 - 12 - 6 ) - 0 = 13 - 12 - 6 :
26 - 36 - 6 = -16 - 6 = -16 - 366 = -376
Para :
Agora, subtraímos o valor em 0 do valor em 1:
Convertendo para frações com denominador comum:

Resposta

O valor da integral é .

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