Calcule a integral. integral0^pi / 2 sen^x sec ^5 x d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com funções trigonométricas elevadas a expoentes. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e manipulação de identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Suponho que o expoente em seja um erro de digitação e que seja , onde é um número. Vamos considerar que a integral seja .

Passo 3

Sabemos que integral0^pi / 2 sen x cdot 1cos^5 x , dx = integral0^pi / 2 sen xcos^5 x , dx . Então, . Assim, a integral fica:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição. Vamos deixar , então . Isso significa que .
Quando , .
Quando , .

Passo 5

Substituindo na integral:
Note que trocamos os limites de integração ao inverter os limites após retirar o sinal negativo.

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral integral u^-5 , du = u^-4-4 + C = -14u^4 + C . A integral de em relação a é , desde que .
Aqui, , então:

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
[ -14u^4 ]0^1 = ( -14 cdot 1^4 ) - ( -14 cdot 0^4 )
Aqui, temos um problema: quando , tende ao infinito. Isso indica que a integral é divergente.

Resposta

A integral é divergente, ou seja, não converge para um valor finito.

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