Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos calcular essa integral
. Esse exercício está no tópico de cálculo integral, especificamente envolvendo integração por substituição e integração de funções polinomiais com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que possamos substituir para simplificar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifique a parte da raiz quadrada. Vamos deixar
. A ideia aqui é transformar a integral em termos de
, o que geralmente facilita a resolução.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso quer dizer que
.
Passo 4
Vamos reorganizar a integral original usando essa substituição. Temos:
Sabendo que
, podemos substituir:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos distribuir
dentro do parêntese:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.
Passo 6
Integrando cada termo:
Então, juntando tudo:
Passo 7
Agora, vamos voltar para a variável original
substituindo
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é dada por:
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Seja
.
Some uma série geométrica para encontrar o valor de .
Some uma série geométrica para encontrar o valor de