Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral . Esse exercício está no tópico de cálculo integral, especificamente envolvendo integração por substituição e integração de funções polinomiais com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que possamos substituir para simplificar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifique a parte da raiz quadrada. Vamos deixar . A ideia aqui é transformar a integral em termos de , o que geralmente facilita a resolução.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Isso quer dizer que .

Passo 4

Vamos reorganizar a integral original usando essa substituição. Temos:
Sabendo que , podemos substituir:
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos distribuir dentro do parêntese:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Integrando cada termo:
Então, juntando tudo:

Passo 7

Agora, vamos voltar para a variável original substituindo :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é dada por:

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Seja .
Some uma série geométrica para encontrar o valor de .