Calcule a integral. integral x^3 raiz16+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral . Esse exercício está no tópico de cálculo integral, especificamente envolvendo integração por substituição e integração de funções polinomiais com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que possamos substituir para simplificar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifique a parte da raiz quadrada. Vamos deixar . A ideia aqui é transformar a integral em termos de , o que geralmente facilita a resolução.

Passo 3

Agora, vamos derivar du = 2x , dx em relação a para encontrar :
Isso quer dizer que .

Passo 4

Vamos reorganizar a integral original usando essa substituição. Temos:
integral x^3 raiz16+x^2 , dx = integral x^2 cdot x raizu , dx
Sabendo que = integral (u - 16) cdot raizu cdot du2 , podemos substituir:
= 12 integral (u - 16) u^1/2 , du
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos distribuir = 12 integral ( u^3/2 - 16u^1/2 ) , du dentro do parêntese:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Integrando cada termo:
integral u^3/2 , du = u^5/252 = 25 u^5/2
integral 16u^1/2 , du = 16 cdot u^3/232 = 323 u^3/2
Então, juntando tudo:
12 ( 25 u^5/2 - 323 u^3/2 ) = 15 u^5/2 - 163 u^3/2

Passo 7

Agora, vamos voltar para a variável original 15 (16 + x^2)^5/2 - 163 (16 + x^2)^3/2 + C substituindo :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é dada por:
integral x^3 raiz16+x^2 , dx = 15 (16 + x^2)^5/2 - 163 (16 + x^2)^3/2 + C

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