Calcule a integral.
integral0^pi / 4 sec ^2 t d t

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de a . Isso envolve conhecimentos de Cálculo Integral, especificamente sobre como encontrar a antiderivada de uma função trigonométrica. Para resolver, vamos precisar saber qual é a antiderivada de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a antiderivada de uma função é outra função cuja derivada é a função original. No caso de integral sec^2 t , dt = tan t + C , a antiderivada é , porque a derivada de é . Então, temos:
Aqui, é a constante de integração, que não precisamos considerar em integrais definidas.

Passo 3

Agora que sabemos qual é a antiderivada, podemos aplicar os limites de integração. Isso significa que vamos avaliar tan(pi4) = 1 nos pontos tan(0) = 0 e .
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :

Passo 4

Finalmente, subtraímos o valor da antiderivada no limite inferior do valor no limite superior:
tan(pi4) - tan(0) = 1 - 0 = 1

Resposta

O valor da integral é .

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