Calcule a integral.
integral0^pi / 4 sec theta tg theta d theta

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é calcular a integral definida de 0 até π/4 da função sec theta cdot tan theta em relação a theta. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especialmente lidando com funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integração de funções complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra básica da derivada das funções trigonométricas. Sabia que a derivada de sec theta é sec theta cdot tan theta? Isso quer dizer que:
ddtheta sec theta = sec theta cdot tan theta
Então, temos que a função que estamos integrando, sec theta cdot tan theta, é justamente a derivada de sec theta. Isso facilita muito nossa vida na hora de integrar.

Passo 3

Como a função que estamos integrando é a derivada de sec theta, a integral de sec theta cdot tan theta , dtheta é simplesmente sec theta mais uma constante de integração. Porém, como estamos lidando com uma integral definida (com limites de 0 a π/4), não precisamos nos preocupar com a constante. Então, a integral fica:
integral0^pi / 4 sec theta cdot tan theta , dtheta = sec theta g|0^pi/4

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor de sec theta nos limites superior e inferior.
  1. No limite superior, theta = pi/4:
    Sabemos que:
    cos ( pi4 ) = raiz22
    Então,
    sec ( pi4 ) = 1cos ( pi4 ) = 1raiz22 = raiz2
  2. No limite inferior, theta = 0:
    Sabemos que:
    cos (0) = 1
    Então,
    sec (0) = 1cos (0) = 1

Resposta

Subtraindo os valores obtidos nos limites, temos:
sec ( pi4 ) - sec (0) = raiz2 - 1
Então, a integral vale raiz2 - 1.

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