Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
y=integral0^x^4 cos ^2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Isso significa que vamos precisar entender como as integrais e derivadas se relacionam. Basicamente, precisamos saber como derivar uma função definida por uma integral cujo limite superior depende de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ela diz que se , então a derivada de em relação a é simplesmente . Ou seja, . Isso facilita muito quando o limite superior da integral é apenas .

Passo 3

No nosso caso, a função é . Aqui, o limite superior é em vez de apenas . Para lidar com isso, vamos usar a regra da cadeia, que é quando temos uma função composta. A regra da cadeia nos diz que se temos , então .

Passo 4

Aplicando isso ao nosso problema:
  • , então pela Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.
  • , então .

Passo 5

Agora, usando a regra da cadeia:
dydx = F'(u) cdot u' = cos^2 (x^4) cdot 4x^3

Resposta

A derivada da função é .

Exercícios relacionados