Calcule a integral.
integral1 / 2^1 / raiz2 4raiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de 4raiz1 - x^2 no intervalo de 12 a 1raiz2. Aqui estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a antiderivada de 1raiz1 - x^2, que está relacionada à função arco seno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a antiderivada de 1raiz1 - x^2. Sabemos que:
integral 1raiz1 - x^2 dx = arcsin(x) + C
Isso significa que a integral de 1raiz1 - x^2 é o arco seno de x.

Passo 3

Agora, voltando à nossa integral original, temos um 4 multiplicando a função:
integral 4raiz1 - x^2 dx = 4 integral 1raiz1 - x^2 dx = 4 arcsin(x) + C
Então, a antiderivada de 4raiz1 - x^2 é 4 arcsin(x).

Passo 4

Como a integral é definida, precisamos calcular o valor de 4 arcsin(x) nos limites de integração, que são 12 e 1raiz2, e então subtrair os resultados:
4 arcsin(1raiz2) - 4 arcsin(12)

Passo 5

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. Para x = 1raiz2:
Sabemos que arcsin(1raiz2) = pi4, porque sin(pi4) = 1raiz2.
  1. Para x = 12:
Também sabemos que arcsin(12) = pi6, porque sin(pi6) = 12.

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão:
4 cdot pi4 - 4 cdot pi6 = pi - 2pi3 = pi3

Resposta

O valor da integral é pi3.

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