Calcule a integral. integral0^pi / 4 sec ^2 theta d theta

Passo 1

Vamos resolver a integral integral0^pi / 4 sec^2 theta , dtheta. Esse exercício faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber qual é a antiderivada de sec^2 theta.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que para integrar sec^2 theta, precisamos encontrar uma função cuja derivada seja sec^2 theta. Sabemos que a derivada de tan theta é sec^2 theta. Portanto, a antiderivada de sec^2 theta é tan theta.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que para calcular uma integral definida, substituímos os limites de integração na antiderivada e subtraímos os resultados. Assim, temos:
integral0^pi / 4 sec^2 theta , dtheta = tan theta |0^pi/4 = tan(pi4) - tan(0)

Passo 4

Vamos calcular os valores das funções trigonométricas nos limites:
  • tan(pi4): Sabemos que tan(pi4) = 1, porque o ângulo de 45^circ tem tangente igual a 1.
  • tan(0): A tangente de 0 é 0.

Resposta

Portanto, a integral vale 1 - 0 = 1.

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