Calcule a integral. integral1^2 3x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de no intervalo de 1 a 2. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrando funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções da forma , onde é um número positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função 3x^4 = 3x^-4 de uma forma que facilite a integração. Podemos escrever isso como:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra de integração para potências de x. Se temos integral x^n dx = x^n+1n+1 + C , a integral é:
onde é a constante de integração. No nosso caso, .

Passo 4

Aplicando a regra de integração, temos:
integral 3x^-4 dx = 3 cdot x^-4 + 1-4 + 1 + C = 3 cdot x^-3-3 + C = -33 x^-3 + C = -x^-3 + C
Isso simplifica para:
-1x^3 + C

Passo 5

Como estamos calculando uma integral definida de 1 a 2, precisamos avaliar a antiderivada nos limites superior e inferior e então subtrair:
[ -1x^3 ]1^2 = ( -12^3 ) - ( -11^3 ) = ( -18 ) - (-1) = -18 + 1 = 78

Resposta

O valor da integral é .

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