Dê exemplos de sequências e , de tal modo que: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é que a gente dê exemplos de duas sequências, chamadas e , de forma que, quando a gente divide os termos correspondentes delas e faz ir para o infinito, o resultado dessa divisão seja 1. Isso está dentro do tópico de Limites de Sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender como as sequências podem se comportar conforme cresce e como garantir que a razão entre elas se aproxime de 1.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher duas sequências que são bem parecidas, afinal, queremos que a razão entre elas chegue a 1. Uma maneira fácil de fazer isso é fazer com que uma das sequências seja uma pequena variação da outra. Por exemplo, podemos definir:
Aqui, é simplesmente , e é mais 1. Essas duas sequências são bem próximas uma da outra, especialmente conforme fica grande.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da razão entre e quando tende ao infinito:
Para resolver esse limite, podemos dividir o numerador e o denominador por :
Sabemos que tende a 0 quando vai para o infinito. Então:
Isso mostra que a razão entre e realmente tende a 1 quando cresce sem limites.

Resposta

Um exemplo de sequências que satisfazem é:
e

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Mostre, diretamente que, se e forem Sequências de Cauchy, então, é uma Sequência de Cauchy.
Resolva os seguintes limites justificando cada passagem:
.
Calcule a integral.
Calcule a integral.