Dê exemplos de sequências xnn in N e ynn in N, de tal modo que: lim n infty xnyn=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é que a gente dê exemplos de duas sequências, chamadas xn e yn, de forma que, quando a gente divide os termos correspondentes delas e faz n ir para o infinito, o resultado dessa divisão seja 1. Isso está dentro do tópico de Limites de Sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender como as sequências podem se comportar conforme n cresce e como garantir que a razão entre elas se aproxime de 1.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher duas sequências que são bem parecidas, afinal, queremos que a razão entre elas chegue a 1. Uma maneira fácil de fazer isso é fazer com que uma das sequências seja uma pequena variação da outra. Por exemplo, podemos definir:
xn = n
yn = n + 1
Aqui, xn é simplesmente n, e yn é n mais 1. Essas duas sequências são bem próximas uma da outra, especialmente conforme n fica grande.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da razão entre xn e yn quando n tende ao infinito:
limn to infty xnyn = limn to infty nn + 1
Para resolver esse limite, podemos dividir o numerador e o denominador por n:
limn to infty nn + 1 = limn to infty nnnn + 1n = limn to infty 11 + 1n
Sabemos que 1n tende a 0 quando n vai para o infinito. Então:
limn to infty 11 + 0 = 11 = 1
Isso mostra que a razão entre xn e yn realmente tende a 1 quando n cresce sem limites.

Resposta

Um exemplo de sequências que satisfazem lim n infty xnyn=1 é:
xn = n
e
yn = n + 1

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