Dê exemplos de sequências
e
, de tal modo que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é que a gente dê exemplos de duas sequências, chamadas
e
, de forma que, quando a gente divide os termos correspondentes delas e faz
ir para o infinito, o resultado dessa divisão seja 1. Isso está dentro do tópico de Limites de Sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender como as sequências podem se comportar conforme
cresce e como garantir que a razão entre elas se aproxime de 1.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher duas sequências que são bem parecidas, afinal, queremos que a razão entre elas chegue a 1. Uma maneira fácil de fazer isso é fazer com que uma das sequências seja uma pequena variação da outra. Por exemplo, podemos definir:
Aqui,
é simplesmente
, e
é
mais 1. Essas duas sequências são bem próximas uma da outra, especialmente conforme
fica grande.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da razão entre
e
quando
tende ao infinito:
Para resolver esse limite, podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Sabemos que
tende a 0 quando
vai para o infinito. Então:
Isso mostra que a razão entre
e
realmente tende a 1 quando
cresce sem limites.
Resposta
Um exemplo de sequências que satisfazem
é:
e
Exercícios relacionados
Mostre, diretamente que, se
e
forem Sequências de Cauchy, então,
é uma Sequência de Cauchy.
Resolva os seguintes limites justificando cada passagem:
.
Calcule a integral.
Calcule a integral.