Calcule a integral: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as integrais básicas das funções trigonométricas e entender como aplicá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos integrando: . Sabemos que quando temos uma função multiplicada por sua derivada, podemos usar uma substituição simples. Aqui, percebemos que a derivada de é . Ou seja,

Passo 3

Com isso, podemos fazer uma substituição direta. Se deixarmos , então a derivada de em relação a é . Observando a nossa integral:

Passo 4

Integrando em relação a , temos:
Onde é a constante de integração. Substituindo de volta :

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de a . Assim, calculamos:

Passo 6

Calculando cada termo:

Resposta

Portanto, o valor da integral é:

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Calcule as integrais inferior e superior de no intervalo .
Encontre a derivada das funções abaixo: .
Se , em qual intervalo é crescente?
Encontre a integral indefinida: .