Calcule a integral: integral0^pi / 4 sec theta tan theta d theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^pi / 4 sec theta tan theta , dtheta. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as integrais básicas das funções trigonométricas e entender como aplicá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos integrando: sec theta tan theta. Sabemos que quando temos uma função multiplicada por sua derivada, podemos usar uma substituição simples. Aqui, percebemos que a derivada de sec theta é sec theta tan theta. Ou seja,
ddtheta (sec theta) = sec theta tan theta

Passo 3

Com isso, podemos fazer uma substituição direta. Se deixarmos u = sec theta, então a derivada de u em relação a theta é du = sec theta tan theta , dtheta. Observando a nossa integral:
integral sec theta tan theta , dtheta = integral du

Passo 4

Integrando em relação a u, temos:
integral du = u + C
Onde C é a constante de integração. Substituindo de volta u = sec theta:
integral sec theta tan theta , dtheta = sec theta + C

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a pi/4. Assim, calculamos:
[ sec theta ]0^pi/4 = sec ( pi4 ) - sec(0)

Passo 6

Calculando cada termo:
  • sec ( pi4 ) = 1cos ( pi4 ) = 1raiz22 = raiz2
  • sec(0) = 1cos(0) = 11 = 1

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
raiz2 - 1

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