Se f(x)=integral0^x(1-t^2) e^-t^2 d t, em qual intervalo f é crescente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a função . A matéria envolvida aqui é cálculo, especialmente integração e derivadas. Para descobrir onde essa função é crescente, vamos precisar achar a derivada dela e ver onde essa derivada é positiva.

Passo 2

Primeiro passo é achar a derivada de . Lembra do Teorema Fundamental do Cálculo? Ele diz que se temos uma função definida por uma integral, como , então a derivada é simplesmente .

Passo 3

Aplicando isso aqui, temos f'(x) = (1 - x^2) e^-x^2 . Então, a derivada de é:

Passo 4

Agora, para saber onde (1 - x^2) e^-x^2 > 0 é crescente, precisamos descobrir onde . Ou seja, vamos resolver a inequação:

Passo 5

Vamos analisar cada parte dessa expressão. Sabemos que é sempre positivo, porque a exponencial nunca é negativa. Então, o sinal da expressão inteira depende de .

Passo 6

Agora, resolvemos 1 - x^2 > 0 1 > x^2 -1 < x < 1 :
Isso quer dizer que é positivo quando está entre -1 e 1.

Resposta

A função é crescente no intervalo .

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