Encontre a integral indefinida: .

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar a integral indefinida de . Isso está ligado ao cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral. Multiplicando por cada termo dentro dos parênteses, temos:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
Isso é possível porque a integral da soma é a soma das integrais.

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente. A primeira, , é uma integral padrão cuja antiderivada é :
Aqui, é uma constante de integração.

Passo 5

A segunda integral, , também é uma integral padrão. A antiderivada de é :
Onde é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, juntamos as duas partes que calculamos:
Como e são constantes, podemos combiná-las em uma única constante :

Resposta

A integral indefinida é:

Exercícios relacionados

Se , em qual intervalo é crescente?
Calcule a integral: .
Seja uma função que representa o módulo da força aplicada em um objeto que se desloca ao longo de uma linha reta, com mesmo sentido e direção do deslocamento. Em termos físicos o que representa
Calcule a integral: .