Encontre a integral indefinida: integral sec t(sec t+tan t) d t.

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar a integral indefinida de sec t(sec t + tan t) dt. Isso está ligado ao cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral. Multiplicando sec t por cada termo dentro dos parênteses, temos:
sec t cdot sec t + sec t cdot tan t = sec^2 t + sec t tan t
Então, a integral fica:
integral (sec^2 t + sec t tan t) dt

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
integral sec^2 t , dt + integral sec t tan t , dt
Isso é possível porque a integral da soma é a soma das integrais.

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente. A primeira, integral sec^2 t , dt, é uma integral padrão cuja antiderivada é tan t:
integral sec^2 t , dt = tan t + C1
Aqui, C1 é uma constante de integração.

Passo 5

A segunda integral, integral sec t tan t , dt, também é uma integral padrão. A antiderivada de sec t tan t é sec t:
integral sec t tan t , dt = sec t + C2
Onde C2 é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, juntamos as duas partes que calculamos:
tan t + C1 + sec t + C2
Como C1 e C2 são constantes, podemos combiná-las em uma única constante C:
tan t + sec t + C

Resposta

A integral indefinida é:
tan t + sec t + C

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