Encontre a integral indefinida:
.
Passo 1
Beleza, a gente tem que encontrar a integral indefinida de
. Isso está ligado ao cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral. Multiplicando
por cada termo dentro dos parênteses, temos:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
Isso é possível porque a integral da soma é a soma das integrais.
Passo 4
Vamos resolver cada integral separadamente. A primeira,
, é uma integral padrão cuja antiderivada é
:
Aqui,
é uma constante de integração.
Passo 5
A segunda integral,
, também é uma integral padrão. A antiderivada de
é
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Agora, juntamos as duas partes que calculamos:
Como
e
são constantes, podemos combiná-las em uma única constante
:
Resposta
A integral indefinida é: