Encontre a derivada das funções abaixo: h(x)=integral1^e^x ln y d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada da função . Estamos lidando com cálculo integral e derivadas, especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma integral que tem limites que dependem da variável .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, que, em termos simples, nos diz que se temos uma função definida como uma integral com limite superior variável, a derivada dessa função é igual à função integranda avaliada nesse limite superior multiplicada pela derivada desse limite.
Matematicamente, se , então a derivada .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
  • O limite superior é
  • O limite inferior é constante ( ), então sua derivada será zero e não afeta o resultado.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada do limite superior g'(x) = ddx e^x = e^x :

Passo 5

Em seguida, avaliamos a função integranda f(g(x)) = ln(e^x) = x no limite superior :
Isso porque .

Passo 6

Finalmente, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
h'(x) = f(g(x)) cdot g'(x) = x cdot e^x

Resposta

A derivada da função h'(x) = x cdot e^x é:

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