Calcule a integral. integral0^pi / 4 sec theta tan theta d theta

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de sec theta tan theta no intervalo de 0 a pi/4. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função dentro da integral é sec theta tan theta. Sabemos que no cálculo de integrais, identificar uma função cuja derivada corresponde à parte da integral é muito útil.

Passo 3

Lembramos que a derivada de sec theta em relação a theta é sec theta tan theta. Ou seja,
ddtheta (sec theta) = sec theta tan theta
Isso significa que a antiderivada de sec theta tan theta é simplesmente sec theta.

Passo 4

Agora, aplicando a regra da integral definida, temos:
integral0^pi / 4 sec theta tan theta d theta = [ sec theta ]0^pi/4
Isso significa que precisamos calcular sec theta nos limites de theta = pi/4 e theta = 0 e subtrair os resultados.

Passo 5

Calculando sec theta nos limites:
Para theta = pi/4:
sec ( pi4 ) = 1cos ( pi4 ) = 1raiz22 = raiz2
Para theta = 0:
sec (0) = 1cos(0) = 11 = 1

Resposta

Portanto, a integral é igual a raiz2 - 1.

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