Formar as equaçòes diferenciais das seguintes familias de curvas:
Resp.:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma família de curvas definida pela equação
. O conteúdo da matéria envolvido aqui são as equações diferenciais relacionadas a famílias de curvas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é uma constante que caracteriza cada curva da família. Nosso objetivo é eliminar essa constante e encontrar uma relação que envolva
,
e a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos começar isolando
na equação dada:
Passo 4
Agora, como queremos uma equação que não contenha a constante
, vamos derivar ambos os lados da equação original em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, precisamos usar a regra da cadeia.
Passo 5
Calculando as derivadas:
Passo 6
Agora, substituímos o valor de
que encontramos no Passo 3:
Passo 7
Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Expandindo e simplificando os termos:
Passo 9
Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Passo 10
Isolando a derivada
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando a expressão:
Resposta
A equação diferencial da família de curvas é:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule a integral.
Simplifique as expressões, escrevendo o resultado na forma cartesiana (retangular)
com
e
números racionais (racional inclui a possibilidade de ser inteiro!)