Formar as equaçòes diferenciais das seguintes familias de curvas: x^3 = C(x^2 - y^2)
Resp.: 3y^2 - x^2 = 2xy dy/dx

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma família de curvas definida pela equação . O conteúdo da matéria envolvido aqui são as equações diferenciais relacionadas a famílias de curvas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma constante que caracteriza cada curva da família. Nosso objetivo é eliminar essa constante e encontrar uma relação que envolva , e a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos começar isolando na equação dada:

Passo 4

Agora, como queremos uma equação que não contenha a constante , vamos derivar ambos os lados da equação original em relação a . Lembrando que é uma função de , precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 5

Calculando as derivadas:

Passo 6

Agora, substituímos o valor de que encontramos no Passo 3:

Passo 7

Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Expandindo e simplificando os termos:

Passo 9

Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:

Passo 10

Isolando a derivada :
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando a expressão:

Resposta

A equação diferencial da família de curvas é:

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