Simplifique as expressões, escrevendo o resultado na forma cartesiana (retangular) x + i y com x e y números racionais (racional inclui a possibilidade de ser inteiro!)
(2 + i) / (2 - i) i^(-2022) raiz(-8 - 6 i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos essas três expressões e simplificá-las na forma , onde e são números racionais. Vamos usar conceitos de números complexos, como conjugados, potências e raízes quadradas de números complexos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar .
Para simplificar uma fração com números complexos no denominador, é legal multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:

Passo 3

Agora, vamos resolver .
Sabemos que tem um ciclo de 4 quando elevado a potências inteiras:
Primeiro, vamos achar :
Então:
Agora, invertendo:

Passo 4

Por último, vamos simplificar .
Buscamos números reais e tais que:
Expandindo:
Igualando as partes reais e imaginárias:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Multiplicando tudo por :
Resolvendo essa equação quadrática para :
As soluções são ou . Como não pode ser negativo, temos , então .
Usando :
Usando :
Então, as raízes são e .

Resposta

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Calcule a integral. integral0^pi / 4 sec theta tan theta d theta
Formar as equaçòes diferenciais das seguintes familias de curvas: x^3 = C(x^2 - y^2)
Resp.: 3y^2 - x^2 = 2xy dy/dx
Seja z = i Ln(2) (repare que estamos usando o valor principal do logaritmo). Determine cos(z), escrevendo o resultado como um número racional.
Um número complexo, z, tem argumento theta = 2022 radianos. Usando a convenção do que Arg(z) ∈ [0, 2 pi), determine o valor principal do argumento, Arg(z), em radianos.