Simplifique as expressões, escrevendo o resultado na forma cartesiana (retangular)
com
e
números racionais (racional inclui a possibilidade de ser inteiro!)
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos essas três expressões e simplificá-las na forma
, onde
e
são números racionais. Vamos usar conceitos de números complexos, como conjugados, potências e raízes quadradas de números complexos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar
.
Para simplificar uma fração com números complexos no denominador, é legal multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
.
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:
Passo 3
Agora, vamos resolver
.
Sabemos que
tem um ciclo de 4 quando elevado a potências inteiras:
Primeiro, vamos achar
:
Então:
Agora, invertendo:
Passo 4
Por último, vamos simplificar
.
Buscamos números reais
e
tais que:
Expandindo:
Igualando as partes reais e imaginárias:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Multiplicando tudo por
:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
As soluções são
ou
. Como
não pode ser negativo, temos
, então
.
Usando
:
Usando
:
Então, as raízes são
e
.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule a integral.
Formar as equaçòes diferenciais das seguintes familias de curvas:
Resp.:
Resp.:
Seja
(repare que estamos usando o valor principal do logaritmo). Determine
, escrevendo o resultado como um número racional.
Um número complexo,
, tem argumento
radianos. Usando a convenção do que
, determine o valor principal do argumento,
, em radianos.