Seja
(repare que estamos usando o valor principal do logaritmo). Determine
, escrevendo o resultado como um número racional.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos
e precisamos encontrar
como um número racional. Vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas para números complexos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função cosseno para números complexos pode ser escrita usando a fórmula de Euler:
Aqui,
é a base dos logaritmos naturais e
é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, vamos substituir
pela expressão dada no enunciado:
Simplificando os exponentes:
Passo 4
Sabemos que
e
. Aplicando isso:
Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Vamos somar os termos no numerador:
Então: