Seja z = i Ln(2) (repare que estamos usando o valor principal do logaritmo). Determine cos(z), escrevendo o resultado como um número racional.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos e precisamos encontrar como um número racional. Vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas para números complexos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função cosseno para números complexos pode ser escrita usando a fórmula de Euler:
Aqui, é a base dos logaritmos naturais e é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, vamos substituir pela expressão dada no enunciado:
Simplificando os exponentes:

Passo 4

Sabemos que e . Aplicando isso:
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Vamos somar os termos no numerador:
Então:

Resposta

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Simplifique as expressões, escrevendo o resultado na forma cartesiana (retangular) x + i y com x e y números racionais (racional inclui a possibilidade de ser inteiro!)
(2 + i) / (2 - i) i^(-2022) raiz(-8 - 6 i)
Calcule a integral. integral0^pi / 4 sec theta tan theta d theta
Um número complexo, z, tem argumento theta = 2022 radianos. Usando a convenção do que Arg(z) ∈ [0, 2 pi), determine o valor principal do argumento, Arg(z), em radianos.
Escreva as definições de cos(z) e sen(z) em termos da função exponencial e, usando as formas exponenciais demonstre que
cos(2z) = cos^2(z) - sen^2(z)