Calcule a integral.
integral0^pi / 4 sec theta tg theta d theta

Passo 1

Vamos calcular a integral . Aqui, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções como e , além de conhecer as regras de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma função cuja derivada seja ddtheta (sec theta) = sec theta tan theta . Sabemos que a derivada de é , ou seja:

Passo 3

Usando essa informação, podemos dizer que a integral de integral sec theta tan theta , dtheta = sec theta + C é simplesmente . Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de [ sec theta ]0^pi/4 = sec ( pi4 ) - sec(0) a :

Passo 5

Calculamos cada termo separadamente:

Passo 6

Substituindo os valores encontrados:
sec ( pi4 ) - sec(0) = raiz2 - 1

Resposta

A integral é igual a .

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