Use transformações para esboçar o gráfico da função. Encontre o domínio e imagem de cada uma das funções.
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: temos a função
e queremos esboçar o seu gráfico usando transformações. Além disso, vamos encontrar o domínio (valores de
que a função aceita) e a imagem (valores que a função pode produzir). Para isso, vamos usar conceitos de funções de raiz quadrada e transformações gráficas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a função básica de raiz quadrada, que é
. O gráfico dessa função começa no ponto (0,0) e se estende para a direita, criando uma curva suave.
Passo 3
Agora, observe a função que temos:
. Essa função é uma transformação da função básica
. A presença de “+2” dentro da raiz indica que fizemos uma translação horizontal no gráfico.
Passo 4
A regra para translações horizontais é a seguinte: se a função tiver a forma
, o gráfico se move
unidades para a direita. No nosso caso, temos
, que pode ser reescrito como
. Isso significa que o gráfico de
foi movido 2 unidades para a esquerda.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio são todos os valores de
que fazem a expressão dentro da raiz quadrada ser não negativa (maior ou igual a zero):
Resolvendo essa desigualdade:
Então, o domínio é
.
Passo 6
Em seguida, vamos determinar a imagem da função, que são todos os valores que
pode assumir. Como estamos lidando com uma raiz quadrada, o resultado sempre será zero ou positivo:
Portanto, a imagem é
.
Resposta
O gráfico da função
é o gráfico da função
deslocado 2 unidades para a esquerda. O domínio da função é
e a imagem é
.
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Calcule a integral.