Use transformações para esboçar o gráfico da função. Encontre o domínio e imagem de cada uma das funções.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos a função e queremos esboçar o seu gráfico usando transformações. Além disso, vamos encontrar o domínio (valores de que a função aceita) e a imagem (valores que a função pode produzir). Para isso, vamos usar conceitos de funções de raiz quadrada e transformações gráficas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a função básica de raiz quadrada, que é . O gráfico dessa função começa no ponto (0,0) e se estende para a direita, criando uma curva suave.

Passo 3

Agora, observe a função que temos: . Essa função é uma transformação da função básica . A presença de “+2” dentro da raiz indica que fizemos uma translação horizontal no gráfico.

Passo 4

A regra para translações horizontais é a seguinte: se a função tiver a forma , o gráfico se move unidades para a direita. No nosso caso, temos , que pode ser reescrito como . Isso significa que o gráfico de foi movido 2 unidades para a esquerda.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o domínio da função . O domínio são todos os valores de que fazem a expressão dentro da raiz quadrada ser não negativa (maior ou igual a zero):
Resolvendo essa desigualdade:
Então, o domínio é .

Passo 6

Em seguida, vamos determinar a imagem da função, que são todos os valores que pode assumir. Como estamos lidando com uma raiz quadrada, o resultado sempre será zero ou positivo:
Portanto, a imagem é .

Resposta

O gráfico da função é o gráfico da função deslocado 2 unidades para a esquerda. O domínio da função é e a imagem é .

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