Use transformações para esboçar o gráfico da função. Encontre o domínio e imagem de cada uma das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função
usando transformações. Além disso, vamos descobrir qual é o domínio (os valores que
pode assumir) e a imagem (os valores que
pode resultar). Para isso, vamos precisar entender como a função cosseno básica se transforma quando a gente multiplica por um número.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico da função cosseno básica:
. Ela tem algumas características importantes:
- Amplitude: A altura máxima e mínima do gráfico é 1 e -1, respectivamente.
- Período: O ciclo completo do cosseno ocorre a cada
unidades. - Domínio: Todos os números reais, ou seja,
. - Imagem: Os valores de
estão entre -1 e 1.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformação na função
. O que acontece quando a gente multiplica a função cosseno por 2?
- Amplitude Ampliada: A amplitude passa a ser
em vez de . Isso significa que o gráfico vai esticar verticalmente, alcançando valores máximos de 2 e mínimos de -2. - Período: O período continua sendo
, pois a multiplicação por um número afeta apenas a amplitude, não o período. - Domínio: Continua sendo todos os números reais,
, porque não há restrições na função. - Imagem: Agora, os valores de
estarão entre -2 e 2.
Passo 4
Vamos resumir as transformações:
- A função original é
. - Multiplicando por 2, a amplitude aumenta para 2, então o gráfico fica mais “alto” e “baixo”.
- O período não muda, então o ciclo continua ocorrendo a cada
.
Passo 5
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico de
:
- O gráfico terá picos em
e vales em . - O ciclo se repete a cada
unidades no eixo . - Não há deslocamentos horizontais ou verticais além da amplitude ampliada.
Resposta
Domínio:
(todos os números reais).
Imagem:
.
O gráfico da função
é uma versão esticada verticalmente do cosseno básico, com amplitude 2 e mantendo o mesmo período de
.
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Calcule a integral.