Use transformações para esboçar o gráfico da função. Encontre o domínio e imagem de cada uma das funções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função usando transformações. Além disso, vamos descobrir qual é o domínio (os valores que pode assumir) e a imagem (os valores que pode resultar). Para isso, vamos precisar entender como a função cosseno básica se transforma quando a gente multiplica por um número.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico da função cosseno básica: . Ela tem algumas características importantes:
  • Amplitude: A altura máxima e mínima do gráfico é 1 e -1, respectivamente.
  • Período: O ciclo completo do cosseno ocorre a cada unidades.
  • Domínio: Todos os números reais, ou seja, .
  • Imagem: Os valores de estão entre -1 e 1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação na função . O que acontece quando a gente multiplica a função cosseno por 2?
  • Amplitude Ampliada: A amplitude passa a ser em vez de . Isso significa que o gráfico vai esticar verticalmente, alcançando valores máximos de 2 e mínimos de -2.
  • Período: O período continua sendo , pois a multiplicação por um número afeta apenas a amplitude, não o período.
  • Domínio: Continua sendo todos os números reais, , porque não há restrições na função.
  • Imagem: Agora, os valores de estarão entre -2 e 2.

Passo 4

Vamos resumir as transformações:
  • A função original é .
  • Multiplicando por 2, a amplitude aumenta para 2, então o gráfico fica mais “alto” e “baixo”.
  • O período não muda, então o ciclo continua ocorrendo a cada .

Passo 5

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico de :
  • O gráfico terá picos em e vales em .
  • O ciclo se repete a cada unidades no eixo .
  • Não há deslocamentos horizontais ou verticais além da amplitude ampliada.

Resposta

Domínio: (todos os números reais).
Imagem: .
O gráfico da função é uma versão esticada verticalmente do cosseno básico, com amplitude 2 e mantendo o mesmo período de .

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Calcule a integral.