Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.) Se existem lim x x0^+ f(x) e lim x x0^- f(x), então lim x x0 f(x) existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a afirmação “Se existem e , então existe” é verdadeira ou falsa. Isso tá relacionado ao estudo de limites, especificamente aos limites laterais e ao limite geral de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte significa. O limite à direita ( ) considera valores de que chegam a vindo da direita. Já o limite à esquerda ( ) considera valores vindo da esquerda. Para que o limite geral exista, é necessário que ambos os limites laterais existam e sejam iguais.

Passo 3

Agora, a afirmação só diz que os limites laterais existem, mas não garante que eles sejam iguais. Então, vamos ver um exemplo pra ilustrar isso:
Considere a função f(x) = 1 & se x > 0 2 & se x < 0 definida por:
lim x 0^+ f(x) = 1
Vamos calcular os limites:
lim x 0^- f(x) = 2
Aqui, ambos os limites laterais existem, mas eles são diferentes. Portanto, o limite geral não existe.

Resposta

A afirmação é falsa. Mesmo existindo os limites laterais, se eles não forem iguais, o limite geral não existe. No exemplo mostrado, e , então não existe.

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