Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.) Se existem
e
, então
existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a afirmação “Se existem
e
, então
existe” é verdadeira ou falsa. Isso tá relacionado ao estudo de limites, especificamente aos limites laterais e ao limite geral de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte significa. O limite à direita (
) considera valores de
que chegam a
vindo da direita. Já o limite à esquerda (
) considera valores vindo da esquerda. Para que o limite geral
exista, é necessário que ambos os limites laterais existam e sejam iguais.
Passo 3
Agora, a afirmação só diz que os limites laterais existem, mas não garante que eles sejam iguais. Então, vamos ver um exemplo pra ilustrar isso:
Considere a função
definida por:
Vamos calcular os limites:
Aqui, ambos os limites laterais existem, mas eles são diferentes. Portanto, o limite geral
não existe.
Resposta
A afirmação é falsa. Mesmo existindo os limites laterais, se eles não forem iguais, o limite geral não existe. No exemplo mostrado,
e
, então
não existe.