Calcule a integral. integral0^pi / 2 sen theta e^cos theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente uma integral definida. Para resolver, vamos utilizar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar . Isso é útil porque a derivada de em relação a é .

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de du = -sen theta , dtheta Rightarrow -du = sen theta , dtheta :
Isso nos permite substituir na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Note que os limites de integração também mudam de acordo com a substituição integral0^pi / 2 sen theta , e^cos theta , dtheta = integralu(0)^u(pi/2) e^u , (-du) :
  • Quando , .
  • Quando , .

Passo 5

Reescrevendo a integral com os novos limites:
- integral1^0 e^u , du = integral0^1 e^u , du
(Invertemos os limites e removemos o sinal negativo.)

Passo 6

Agora, integrando integral0^1 e^u , du = e^u g|0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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