Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Toda função elementar tem uma derivada elementar.

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação é: “Toda função elementar tem uma derivada elementar.” Estamos lidando com o conteúdo de Cálculo, mais especificamente com derivadas de funções. Para resolver isso, vamos precisar saber o que são funções elementares e o que significa uma derivada ser elementar.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é uma função elementar. Funções elementares são aquelas que podem ser construídas a partir de funções básicas como polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, cossenos e suas combinações através de operações como soma, multiplicação e composição.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa uma derivada ser elementar. Uma derivada é considerada elementar se ela também for uma função elementar, ou seja, se puder ser expressa usando as mesmas operações e funções básicas mencionadas anteriormente.

Passo 4

A próxima coisa a verificar é se, ao derivar qualquer função elementar, a derivada resultante também é uma função elementar. Para isso, vamos lembrar das regras de derivação: soma, produto, cadeia, entre outras. Essas regras envolvem operações que mantêm a função derivada dentro do conjunto das funções elementares.

Passo 5

Vamos tomar alguns exemplos para ilustrar:
  • A derivada de é , que é elementar.
  • A derivada de é , também elementar.
  • A derivada de é , que é um polinômio, portanto elementar.

Passo 6

Esses exemplos mostram que, ao derivar funções elementares comuns, obtemos funções derivadas que também são elementares. Isso ocorre porque as operações de derivação mantêm a natureza elementar das funções.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Toda função elementar tem uma derivada que também é uma função elementar, pois as regras de derivação preservam a natureza elementar das funções envolvidas.

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Calcule a integral.
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