Calcule a integral. integral0^pi / 2 sen^3 theta cos ^2 theta d theta

Passo 1

Vamos resolver a integral . Vamos utilizar técnicas de cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, como substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão separando uma potência ímpar de seno, o que ajuda na substituição. Temos:
sin^3 theta = sin^2 theta cdot sin theta
Sabemos que .

Passo 3

Substituindo integral0^pi / 2 (1 - cos^2 theta) cdot sin theta cdot cos^2 theta , dtheta na integral:

Passo 4

Fazemos a substituição . Então, a derivada é ou .
Quando , .
Quando , .

Passo 5

Substituindo na integral:
integral1^0 (1 - u^2) cdot u^2 cdot (-du)
Isso é equivalente a:
integral0^1 (1 - u^2) u^2 , du

Passo 6

Expandimos o integrando:
integral0^1 (u^2 - u^4) , du

Passo 7

Integramos termo a termo:
[ u^33 - u^55 ]0^1 = ( 13 - 15 ) - (0 - 0) = 13 - 15 = 215

Resposta

O valor da integral é .

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