Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
for contínua, então
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A afirmação é: "Se
for contínua, então
". Nosso objetivo é determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, precisamos entender conceitos de cálculo, especificamente sobre integrais impróprias e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral
. Essa é uma integral imprópria que se estende de menos infinito a mais infinito. Para que essa integral exista, é necessário que tanto
quanto
sejam convergentes.
Passo 3
Agora, consideremos a expressão
. Essa é uma tentativa de calcular a integral imprópria através do limite de integrais definidas simétricas ao redor de zero. No entanto, essa abordagem só funciona se a função
for absolutamente integrável ou se for uma função ímpar que cancela as áreas positivas e negativas de maneira equilibrada.
Passo 4
Apesar disso, a afirmação não leva em conta que, para algumas funções contínuas, os limites das integrais de
a
e de
a
podem convergir independentemente, mas a integral simétrica pode não existir ou não ser igual à soma das integrais individuais. Além disso, se
não for uma função par ou ímpar, a integral simétrica pode não representar corretamente a integral total de
a
.
Passo 5
Vamos considerar um exemplo para ilustrar isso. Suponha que
. Essa função é contínua e a integral de
a
existe e é igual a
. Ao calcular
, obtemos o mesmo resultado, confirmando que, neste caso específico, a afirmação é verdadeira.
Passo 6
No entanto, existem funções contínuas para as quais a integral de
a
existe, mas a integral simétrica
não converge ou não coincide com a integral total. Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira para qualquer função contínua.
Resposta
A afirmação é falsa. Embora para algumas funções contínuas a igualdade seja válida, existem funções contínuas para as quais
converge, mas
não coincide ou não existe. Portanto, a afirmação não é verdadeira em geral.
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Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
é convergente.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
pode ser colocado na forma
.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Toda função elementar tem uma derivada elementar.
Calcule a integral.