Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. for contínua, então .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A afirmação é: "Se for contínua, então ". Nosso objetivo é determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, precisamos entender conceitos de cálculo, especificamente sobre integrais impróprias e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral . Essa é uma integral imprópria que se estende de menos infinito a mais infinito. Para que essa integral exista, é necessário que tanto quanto sejam convergentes.

Passo 3

Agora, consideremos a expressão . Essa é uma tentativa de calcular a integral imprópria através do limite de integrais definidas simétricas ao redor de zero. No entanto, essa abordagem só funciona se a função for absolutamente integrável ou se for uma função ímpar que cancela as áreas positivas e negativas de maneira equilibrada.

Passo 4

Apesar disso, a afirmação não leva em conta que, para algumas funções contínuas, os limites das integrais de a e de a podem convergir independentemente, mas a integral simétrica pode não existir ou não ser igual à soma das integrais individuais. Além disso, se não for uma função par ou ímpar, a integral simétrica pode não representar corretamente a integral total de a .

Passo 5

Vamos considerar um exemplo para ilustrar isso. Suponha que . Essa função é contínua e a integral de a existe e é igual a . Ao calcular , obtemos o mesmo resultado, confirmando que, neste caso específico, a afirmação é verdadeira.

Passo 6

No entanto, existem funções contínuas para as quais a integral de a existe, mas a integral simétrica não converge ou não coincide com a integral total. Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira para qualquer função contínua.

Resposta

A afirmação é falsa. Embora para algumas funções contínuas a igualdade seja válida, existem funções contínuas para as quais converge, mas não coincide ou não existe. Portanto, a afirmação não é verdadeira em geral.

Exercícios relacionados

Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. é convergente.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. pode ser colocado na forma .
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Toda função elementar tem uma derivada elementar.
Calcule a integral.