Calcule a integral. integral x-1x^2+2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar entender sobre frações parciais e como integrar funções racionais. Isso vai ajudar a simplificar a expressão e calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração: x^2 + 2x = x(x + 2) . Podemos fatorar esse polinômio:
integral x - 1x(x + 2) , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração x - 1x(x + 2) = Ax + Bx + 2 em frações parciais. Queremos encontrar constantes x - 1 = A(x + 2) + Bx e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:

Passo 4

Vamos expandir e organizar os termos:
x - 1 = A x + 2A + B x = (A + B)x + 2A
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  • Coeficiente de 2A = -1 Rightarrow A = -12 : A + B = 1 Rightarrow -12 + B = 1 Rightarrow B = 32
  • Termo constante:
Resolvendo o sistema:

Passo 5

Substituindo x - 1x(x + 2) = -12x + 32(x + 2) e integral ( -12x + 32(x + 2) ) dx = -12 integral 1x , dx + 32 integral 1x + 2 , dx de volta na decomposição:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:

Passo 6

Sabemos que -12 ln|x| + 32 ln|x + 2| + C e . Então:
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral x-1x^2+2 x , dx = -12 ln|x| + 32 ln|x + 2| + C

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