Calcule a integral. integral0^pi / 4 sen^2(2 theta) d theta

Passo 1

Então, vamos resolver a integral . Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar a função seno ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil: . Essa fórmula nos permite transformar a função seno ao quadrado em termos de cosseno, o que facilita a integração.

Passo 3

Aplicando essa identidade na nossa integral, temos:
Aqui, substituímos integral0^pi / 4 sen^2(2 theta) d theta = integral0^pi / 4 1 - cos(4theta)2 d theta por , então .

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
12 integral0^pi / 4 1 , dtheta - 12 integral0^pi / 4 cos(4theta) , dtheta
Isso facilita o cálculo, pois cada parte pode ser integrada individualmente.

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro:
12 integral0^pi / 4 1 , dtheta = 12 [ theta ]0^pi / 4 = 12 ( pi4 - 0 ) = pi8

Passo 6

Agora, a segunda integral:

Passo 7

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
pi8 - 0 = pi8

Resposta

O valor da integral é .

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