Seja f contínua em p in Df e f(p) > 0. Prove que existe delta > 0, tal que forall x in Df, temos que
p - delta < x < p + delta => f(x) > 0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é contínua em um ponto do seu domínio ( ) e que . O objetivo é mostrar que existe um intervalo ao redor de , ou seja, um , onde para todo nesse intervalo ( ), a função também é maior que zero. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa a função ser contínua em . A definição de continuidade em diz que para todo , existe um tal que, se , então . Isso significa que podemos fazer tão próximo de quanto quisermos, escolhendo um suficientemente próximo de .

Passo 3

Como sabemos que , vamos escolher um que seja menor que . Por exemplo, vamos definir . Assim, queremos garantir que .

Passo 4

Com esse , pela definição de continuidade, existe um tal que, se , então:
Isso significa que está dentro do intervalo , ou seja:

Passo 5

Observamos que porque . Portanto, para todo no intervalo , temos:

Resposta

Existe um tal que, se , então .

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