Seja
contínua em
e
. Prove que existe
, tal que
, temos que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é contínua em um ponto
do seu domínio (
) e que
. O objetivo é mostrar que existe um intervalo ao redor de
, ou seja, um
, onde para todo
nesse intervalo (
), a função
também é maior que zero. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa a função
ser contínua em
. A definição de continuidade em
diz que para todo
, existe um
tal que, se
, então
. Isso significa que podemos fazer
tão próximo de
quanto quisermos, escolhendo um
suficientemente próximo de
.
Passo 3
Como sabemos que
, vamos escolher um
que seja menor que
. Por exemplo, vamos definir
. Assim, queremos garantir que
.
Passo 4
Com esse
, pela definição de continuidade, existe um
tal que, se
, então:
Isso significa que
está dentro do intervalo
, ou seja:
Passo 5
Observamos que
porque
. Portanto, para todo
no intervalo
, temos:
Resposta
Existe um
tal que, se
, então
.