Prove que lim x +infty x=+infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que quando cresce sem parar para mais e mais, ou seja, quando tende a mais infinito ( ), o próprio também tende a . Isso está dentro do estudo de limites em cálculo, onde analisamos o comportamento de funções à medida que a variável independente cresce. Para resolver, vamos usar a definição formal de limite no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que . Formalmente, isso quer dizer que, para qualquer número grande que você escolher, sempre existe um valor tal que para todo maior que , o valor de será maior que . Em outras palavras, não importa quão grande você queira que seja, sempre dá para encontrar um ponto a partir do qual ultrapassa esse valor.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função . Queremos mostrar que, para qualquer , podemos encontrar um tal que se , então .

Passo 4

Olha só, se a gente escolher x > X = M , então para qualquer , temos:
Isso satisfaz exatamente o que a definição pede: é maior que sempre que é maior que .

Resposta

Portanto, mostramos que está comprovado!

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