Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que quando
cresce sem parar para mais e mais, ou seja, quando
tende a mais infinito (
), o próprio
também tende a
. Isso está dentro do estudo de limites em cálculo, onde analisamos o comportamento de funções à medida que a variável independente cresce. Para resolver, vamos usar a definição formal de limite no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que
. Formalmente, isso quer dizer que, para qualquer número grande
que você escolher, sempre existe um valor
tal que para todo
maior que
, o valor de
será maior que
. Em outras palavras, não importa quão grande você queira que
seja, sempre dá para encontrar um ponto a partir do qual
ultrapassa esse valor.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
. Queremos mostrar que, para qualquer
, podemos encontrar um
tal que se
, então
.
Passo 4
Olha só, se a gente escolher
, então para qualquer
, temos:
Isso satisfaz exatamente o que a definição pede:
é maior que
sempre que
é maior que
.
Resposta
Portanto, mostramos que
está comprovado!