Calcule a integral. integral tg x sen^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de em relação a . Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral tan(x) cdot sin^3(x) , dx = integral sin(x)cos(x) cdot sin^3(x) , dx em termos de seno e cosseno para simplificar a expressão. Sabemos que . Então, substituindo na integral:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as funções seno:
sin(x)cos(x) cdot sin^3(x) = sin^4(x)cos(x)
Então, a integral fica:
integral sin^4(x)cos(x) , dx

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos usar uma técnica chamada substituição. Vamos definir uma nova variável u = sin(x) que simplifique a integral. Observando a expressão, vamos escolher:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de du = cos(x) , dx Rightarrow dx = ducos(x) em relação a :

Passo 6

Substituindo integral u^4cos(x) cdot ducos(x) = integral u^4 cdot 1cos^2(x) , du e 1cos^2(x) = 11 - u^2 na integral original:
Mas , então:

Passo 7

Substituindo de novo na integral:
integral u^41 - u^2 , du
Agora, vamos simplificar essa fração dividindo o numerador pelo denominador:
u^41 - u^2 = -u^2 - 1 + 11 - u^2

Passo 8

Então, a integral fica:
integral (-u^2 - 1 + 11 - u^2) , du
Vamos integrar termo a termo:
- integral u^2 , du - integral 1 , du + integral 11 - u^2 , du

Passo 9

Integrando cada termo:

Passo 10

Juntando tudo:
-u^33 - u + 12 ln|1 + u1 - u| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Agora, substituímos -sin^3(x)3 - sin(x) + 12 ln|1 + sin(x)1 - sin(x)| + C de volta:

Resposta

A integral de -sin^3(x)3 - sin(x) + 12 ln|1 + sin(x)1 - sin(x)| + C é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados