Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de em relação a . Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e a técnica de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a em termos de seno e cosseno para simplificar a expressão. Sabemos que . Então, substituindo na integral:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar as funções seno:
Então, a integral fica:
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos usar uma técnica chamada substituição. Vamos definir uma nova variável que simplifique a integral. Observando a expressão, vamos escolher:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Passo 6
Substituindo e na integral original:
Mas , então:
Passo 7
Substituindo de novo na integral:
Agora, vamos simplificar essa fração dividindo o numerador pelo denominador:
Passo 8
Então, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Integrando cada termo:
Passo 10
Juntando tudo:
-u^33 - u + 12 ln|1 + u1 - u| + C
Onde é a constante de integração.
Passo 11
Agora, substituímos -sin^3(x)3 - sin(x) + 12 ln|1 + sin(x)1 - sin(x)| + C de volta:
Resposta
A integral de -sin^3(x)3 - sin(x) + 12 ln|1 + sin(x)1 - sin(x)| + C é: