Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a soma infinita de logaritmos dada por:
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e usando propriedades de logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar somas de logaritmos em produtos e verificar se a série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade dos logaritmos que é super útil aqui:
Aplicando isso à nossa soma, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar o produto dentro do logaritmo. Observamos que, para cada termo
, a fração é:
Para entender o comportamento desse produto quando
cresce, vamos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por
:
Quando
fica muito grande, os termos com
se aproximam de zero, então a fração tende a:
Passo 4
Isso significa que, para valores grandes de
, cada termo da nossa série está se aproximando de
. Como
é uma constante negativa, estamos somando infinitas vezes esse valor.
Uma série cujos termos não se aproximam de zero não converge. No nosso caso, os termos estão se aproximando de um valor constante negativo, então a série não tem um limite finito.
Passo 5
Portanto, a soma infinita dos termos
não converge para um número finito, mas sim tende a diminuir sem parar.
Resposta
A soma infinita diverge para menos infinito, ou seja:
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Calcule a integral.
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;
Seja
.
Some uma série geométrica para encontrar o valor de .
Some uma série geométrica para encontrar o valor de
Determine se a série é convergente ou divergente expressando
como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.