Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que pode ser escrita como . E lembre-se que pode ser substituído por
usando a identidade trigonométrica . Então, temos:
Passo 3
Agora, a integral fica assim:
Vamos separar essa expressão:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira Integral:
Aqui, podemos fazer a substituição
, então . Isso transforma a integral em:
Segunda Integral:
Aqui, usamos a substituição , então
. A integral fica:
Passo 5
Agora, voltando às nossas integrais definidas:
E
Vamos calcular cada uma.
Primeira Integral:
Sabemos que
, então sobra apenas o primeiro termo.
Segunda Integral:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Simplificando
:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A integral é igual a
.