Calcule a integral. integral0^pi / 4 sen^3 xcos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que pode ser escrita como . E lembre-se que pode ser substituído por sen^3 xcos x = sen x cdot (1 - cos^2 x)cos x usando a identidade trigonométrica . Então, temos:

Passo 3

Agora, a integral fica assim:
Vamos separar essa expressão:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira Integral:
Aqui, podemos fazer a substituição integral sen xcos x dx , então . Isso transforma a integral em:
-integral 1u du = -ln |u| + C = -ln |cos x| + C
Segunda Integral:
Aqui, usamos a substituição , então integral sen x cdot cos x dx . A integral fica:

Passo 5

Agora, voltando às nossas integrais definidas:
E
Vamos calcular cada uma.
Primeira Integral:
integral0^pi / 4 sen xcos x dx = -ln |cos x| |0^pi / 4
Sabemos que integral0^pi / 4 sen x cdot cos x dx = sen^2 x2 |0^pi / 4 , então sobra apenas o primeiro termo.
Segunda Integral:

Passo 6

Agora, juntando tudo:
-ln (raiz22) - 14 = -( ln raiz22 + 14 )
Simplificando ln raiz22 = ln raiz2 - ln 2 = 12 ln 2 - ln 2 = -12 ln 2 :
-( -12 ln 2 + 14 ) = 12 ln 2 - 14
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a .

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