Calcule a integral. integralx / 4^pi / 2 cotg^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de cotg^3 x no intervalo de pi4 até pi2. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente a cotangente elevada ao cubo. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração, como a substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a cotangente elevada ao cubo em termos de senos e cossenos para facilitar a integração. Sabemos que:
cotg x = cos xsin x
Então,
cotg^3 x = (cos xsin x)^3 = cos^3 xsin^3 x

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão. Podemos separar cos^3 x da seguinte forma:
cos^3 x = cos^2 x cdot cos x = (1 - sin^2 x) cdot cos x
Então, a integral fica:
integralpi4^pi2 1 - sin^2 xsin^3 x cdot cos x , dx

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
u = sin x Rightarrow du = cos x , dx
Substituindo na integral:
integral 1 - u^2u^3 , du

Passo 5

Agora, vamos separar a fração:
1 - u^2u^3 = 1u^3 - u^2u^3 = u^-3 - u^-1
Então, a integral fica:
integral ( u^-3 - u^-1 ) , du

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral u^-3 , du = u^-2-2 = -12u^2
integral u^-1 , du = ln |u|
Portanto,
integral ( u^-3 - u^-1 ) , du = -12u^2 - ln |u| + C

Passo 7

Substituindo de volta u = sin x:
-12 sin^2 x - ln |sin x| + C
Agora, aplicamos os limites de integração de pi4 a pi2.

Passo 8

Vamos calcular cada parte da expressão nos limites:
Para x = pi2:
sin ( pi2 ) = 1
-12 (1)^2 - ln 1 = -12 - 0 = -12
Para x = pi4:
sin ( pi4 ) = raiz22
-12 ( raiz22 )^2 - ln ( raiz22 ) = -12 cdot 12 - ln ( raiz22 ) = -1 - ln ( raiz22 )

Passo 9

Calculando a diferença:
( -12 ) - ( -1 - ln ( raiz22 ) ) = -12 + 1 + ln ( raiz22 ) = 12 + ln ( raiz22 )
Podemos simplificar ln ( raiz22 ):
raiz22 = 2^-1/2
ln ( 2^-1/2 ) = -12 ln 2
Então,
12 - 12 ln 2

Resposta

A integral integralpi4^pi2 cotg^3 x , dx é igual a:
12 - 12 ln 2

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