Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de
no intervalo de
até
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente a cotangente elevada ao cubo. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração, como a substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a cotangente elevada ao cubo em termos de senos e cossenos para facilitar a integração. Sabemos que:
Então,
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão. Podemos separar
da seguinte forma:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos separar a fração:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Portanto,
Passo 7
Substituindo de volta
:
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
.
Passo 8
Vamos calcular cada parte da expressão nos limites:
Para
:
Para
:
Passo 9
Calculando a diferença:
Podemos simplificar
:
Então,
Resposta
A integral
é igual a: